对于双方都想争夺两周岁以下孩子抚养权的情况，根据《民法典》的相关规定及解答内容，法院一般会倾向于判决孩子随母方生活，因为这属于哺乳期内，为保证婴儿的发育成长，通常会认为母方更适合抚养。除非母方存在严重不利于孩子成长的情况，如患有严重疾病等，否则法院会优先考虑母方的抚养权。
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离婚后，非直接抚养孩子的一方需要承担以下法律责任：1. 负担部分或全部抚养费，直至子女年满18周岁；2. 对子女仍有相同的抚养责任，包括教育、医疗等方面的支持；3. 有探视子女的权利，同时也有协助对方履行抚养义务的责任。这些责任都是基于父母对子女的权利和义务而设定的。
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若双方对孩子的抚养权有争议，且孩子已超过八周岁，处理方案为：1. 双方应充分尊重孩子的意见，考虑其个人意愿；2. 双方可尝试协商，达成抚养协议；3. 若协商不成，可向法院提起诉讼，法院将综合考虑双方条件及孩子意愿作出判决。