您确实可以依据《劳动合同法》来要求公司赔偿。根据《劳动合同法》第十条、第八十二条和第四十七条的规定，公司应与员工签订书面劳动合同，未签订则需支付双倍工资作为赔偿；同时，公司应为员工缴纳社保，未缴纳则员工有权要求补缴。若公司违法解除劳动合同，还需支付经济补偿的两倍作为赔偿金。因此，您完全有法律依据来要求公司赔偿您的损失。
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从法律角度，您应准备以下证据来支持赔偿要求：一是工作证明，如工作证、入职通知书等，证明您与公司存在劳动关系；二是工资条或银行流水，证明您的工资收入情况；三是社保缴纳记录，若公司未缴纳，则可作为要求补缴的依据；四是与公司沟通的记录，如邮件、短信等，证明您曾向公司提出赔偿要求。确保证据真实有效，以便在仲裁或诉讼中发挥作用。